勉強の悩み

つまずきやすい因数分解をマスターしよう！【中3数学|高校入試頻出単元】

更新日：2024/01/24

中学3年生で習う単元の中でも重要かつ、その後の数学の基礎にもなる因数分解。正直苦手…という人も多いのではないでしょうか？因数分解はこの後の高校数学でもかなり重要になるところです。また、因数分解を学習することで、日ごろの計算においても劇的に工夫の幅が広がります。
慣れるまでは難しいと感じるかもしれませんが、問題演習を繰り返し、公式を使えるようになれば強い味方になるはず。入試でも得点源にしていきましょう！

因数分解とは？
因数分解例題①を解いてみよう
因数分解公式の活用をしてみよう
因数分解例題②を解いてみよう

因数分解とは？

まずは因数分解とは何か、というところから確認です。因数分解は簡単にいうと、展開の反対の作業です。「展開」を忘れてしまっている人は、教科書を見直してみましょう！

【因数分解とは】

多項式を、多項式あるいは単項式の積の形で表すこと。

（例）因数分解：ma+mb=m(a+b)
　　　展開　　：m(a+b)=ma+mb

文章では上のように表現できますが、これでは実際にどう計算すれば良いのか、はわかりづらいですね。
（例）の計算を見ると、因数分解では共通の文字でくくりだして、m×(a+b)という積（かけ算）の形にしています。
このように複数の項に含まれる共通した文字や数のことを共通因数と言います。
この「共通因数でくくる」というところが大きなポイントです。

因数分解例題①を解いてみよう

まずは共通因数を意識して、例題を解いてみましょう。
問題をノートに写して解けたら、「+」マークをタップ（クリックして）答え合わせをしてください。

例題①

次の式を因数分解しなさい。
nx+ny

正解できましたか？できなかった場合は、教科書を見直して再度挑戦してみてください。
栄光の塾では授業の体験ができます。わからない単元について相談することもできるので、苦手にお悩みの方はぜひお申し込みください。

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因数分解公式の活用をしてみよう

ここまでは共通因数を見つけてくくりだせば因数分解ができました。ですが、次のような式の場合はどうでしょう？

x²+4x+3=?

それぞれの項を見ると、全ての項で共通した因数が見当たりません。こんな時は、いよいよ公式の出番です！

【因数分解公式】

x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
x²+2ax+a²=(x+a)²
x²-2ax+a²=(x-a)²
x²-a²=(x+a)(x-a)

なんだか全部見たことがあるような気がしませんか？展開公式と似ているところがありますね。
4つの公式全て、展開公式の逆です。したがって、展開公式を覚えていれば新たに因数分解公式を覚える必要はありません。ひっくり返せば因数分解公式になりますよ。

それでは実際に、それぞれの公式を使った因数分解の解き方を確認していきましょう！

【因数分解公式の使い方】

x²+4x+3
=(x+3)(x+1)
足して4になり、かけて3になる2つの数字を考える。
➡︎３と１が当てはまる。
x²+6x+9
=(x+3)(x+3)
=(x+3)²
9は3²で、6は3×2と考えられる。
x²-8x+16
=(x-4)(x-4)
=(x-4)²
16は(-4)²で、-8は(-4)×2と考えられる。※−を忘れないように注意！
x²-9
=(x+3)(x-3)
2乗-2乗の形は和と差の積になる。9は3²なので、x²-3²と考え、和と差の積の形に直す。

因数分解公式はこれで復習ができましたね。公式はとっさに使えるように、「覚える→使って解く」を繰り返すことが大切です。1度で覚えられるものではありません。最初のうちは公式を見ながらでも大丈夫ですので、演習の中で何度も使うようにしましょう。
「公式は覚えたけれど、問題の中でうまく使えない！」という人は、最初は「足して〇、かけて△」を意識して問題を解くのもよいでしょう。公式1～3はこの考え方がもとになっています。一方で「足して〇、かけて△」では解くことが難しい、公式4だけは「2乗-2乗」の特殊な形として覚えておくと、基本の問題は解きやすくなりますよ。

因数分解例題②を解いてみよう

公式を使って例題に挑戦してみましょう。
問題をノートに写して解けたら、「+」マークをタップ（クリックして）答え合わせをしてください。

例題②

次の式を因数分解しなさい。
x²+7x+12

因数分解は早めにマスター！
困ったときは栄光にご相談ください

いかがでしたでしょうか？最後の問題は解けましたか？今回は公式①の問題のみ最後に扱いましたが、実際の受験ではどの公式を使う問題が出るかはわかりません。ぜひどんな因数分解問題が出ても、公式を使いこなして解けるくらいマスターしてくださいね！

栄光の高校受験対策では都道府県によって異なる高校入試の制度や出題傾向、最新の受験情報をもとに、進路指導を行ったうえで目標達成に必要な学習プランを作成し、苦手対策、定期テスト対策、志望校対策も、講師が生徒1人ひとりに寄り添って指導します。少人数で発言や質問がしやすく、仲間と切磋琢磨しながら成長できるグループ指導と、先生と隣り合わせでわからないところや苦手を中心に、自分のペースで学習を進められる個別指導があります。自分に合った指導形態で合格に向かって効率よく学習を進めることができます。家庭学習指導にも力を入れており、志望校合格に必要な学習内容をご提案。また、模試の結果を細かく分析したうえで苦手分野を徹底的に対策することで成績向上につなげます。

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