素因数分解とは?解き方やコツを丁寧に解説します!【中1数学|高校入試頻出単元】

更新日:2024/01/24

素因数分解は中学1年生で習う単元ですが、素因数分解の考え方やその応用は中学3年生になっても使うことになります。最初のうちは意味が分からないこともあるかもしれませんが、出てくる言葉の定義をしっかり理解して、やり方を身につければ難しい単元ではありません。基本問題から練習して、応用問題も解けるように特訓していきましょう!

目次

素因数分解とは?

それでは早速素因数分解の意味を確認していきましょう。

【素因数分解とは】

自然数を素数の積で表すこと

素因数分解はいたってシンプルですが、説明には数学の用語が使われているため、そのままではわかりづらいかもしれません。(すべての用語が理解できている人は次の【素因数分解のやり方】まで飛んでも大丈夫です。)
1つ1つの単語の意味を見ていきましょう。

自然数とは

正の整数のことを「自然数」と呼びます。
1,2,3,4~とずっと続いていきます。
「整数」ですので、小数や分数は自然数には含まれません
また、中学・高校の数学では0を含みません!(大学では0を自然数に含めると考える場合もあります。)

素数とは

1とその数自身以外に約数がない正の整数のこと。

例えば3という数の約数は何でしょうか?正解は1と3です。これが先ほどの「1とその数自身以外に約数がない」状態です。

では10の約数は何でしょうか?正解は1,2,5,10です。10は1と10以外にも2と5という約数があるため素数ではないと言えます。

素数の注意点は「1が含まれない」ということです。ここは間違いやすいため覚えておくようにしましょう。

素数の考え方は素因数分解において必須ですので、ウォーミングアップとして100までの素数を考えてみましょう。
解けたら「+」をタップ(クリック)して解答を確認してください。

例題

100までの素数をすべて書き出してください。

素数を抜き出すコツは、〇の倍数を消していくこと。素数は〇の倍数を含まないため、〇の倍数を消していくことで効率的に素数を見つけることができますね。最初に2の倍数である、4,6,8,10…を消します。次に3の倍数を消していきます。同様に5の倍数、7の倍数を消していき残った数が素数です。100まではこの方法でもれなく素数を見つけられますよ。

素数の探し方
素数の探し方

★ポイント

素数は、1~30には10個、1~50には15個、1~100には25個あると覚えておくと、書き出すときに漏れが発見しやすいです。

中学数学で使うことの多い素数は2~19までの素数です。2,3,5,7,11,13,17,19は何も見ずに素数だと思い出せるようにしておくと素因数分解が楽になります。

これで素因数分解を説明する用語はわかりましたね。
素因数分解は、「0を含まない正の整数(自然数)を1とその数自身以外に約数がない正の整数(素数)のかけ算(積)で表すこと」です。さっきより少しわかりやすくなったのではないでしょうか。

おまけ

素数はわかったけど、素因数って何だろう、と思った人はいませんか?

因数とは「数などをかけ算の形にしたときの、各数などのこと」を因数と言います。例えば10を1×10と表した場合、因数は1と10になります。そのほかに10は2×5と表すこともできますね。この場合の因数は2と5になります。

素因数分解は素数の因数(素因数)の積で表すことなのです。

素因数分解のやり方

素因数分解の意味が分かったところで、素因数分解を実際に解いてみましょう。

例題

20を素因数分解してください。

解き方

20を一番小さい素数から割っていきましょう。
素数の中で一番小さいのは2でしたね。

20を2で割ると
20÷2=10
で割り切ることができました。

次に10を割っていきます。先ほどと同じようにできるだけ小さい素数で割っていくようにしましょう。
10÷2=5
今回も2で割り切ることができました。

割って出てきた5は素数ですね。素数が答えになるまで割り切れたらそこで素因数分解は終わりです。

20から割ってきた素数を見ると、2と2です。そして最後に出てきた素数が5です。これをまとめて、20=2×2×5=22×5と表すことができました。
よって答えは20=22×5です。

このように小さな素数でどんどん割っていくのが素因数分解です。そのため、素数を覚えていないと計算が遅くなってしまいます。問題を解きながら素数を覚えていくようにしましょう。

すだれによる解き方

次にひっ算のようにして素因数分解をしていくやり方を見ていきましょう。

このようにひっ算形式で素因数分解を解くこともできます。どちらでも同じですので、やりやすいほうで解いていきましょう。
どちらのやり方でも解答は累乗を使うのがルールです。テストなどでも累乗で表すことを忘れないようにしましょう。

素因数分解の問題を解いてみよう

素因数分解の解き方を学んだところで、実際に問題を解いていきましょう

問題

次の数を素因数分解しなさい。

     

⑴72
⑵126

割れる素数の見つけ方

素因数分解のやり方はわかってきましたでしょうか?素因数分解は素数をしっかり覚えておけば基本的な問題は解けるようになります。しかし数が大きくなればなるほど、大きな素数を含む数が増えてくるため、どの数で割ればよいかがわからなくなってしまうことがあります。
そんな時に使える素因数分解のコツをご紹介します。

簡単に素因数を見つけるためにはいくつかの法則を覚えておくのが便利です。

一の位が偶数の時は2で割れる(0の時も2で割れる)
一の位が5の時は5で割れる
各位の数を足して3の倍数になるときは3で割れる
④49と91は7で割れる

大きい数の素因数分解で何で割ればよいかがわからなくなってしまったときは、上の①~④を思い出して、どの数で割れそうか考えてみてください。上記の方法で割れる数字がない場合は、2桁以上の素数(11,13,17,19)で割れないかを試してみましょう。焦らず計算をしていけば解けるのが素因数分解です。練習を重ねてマスターしてくださいね!

素因数分解の応用

自然数を素因数分解する基本問題が解けるようになったら、素因数分解を使った応用問題にも取り組んでみましょう。テストでもよく出題されますよ!

例題

104にできるだけ小さい自然数nをかけ、その積がある自然数に2乗になるようにしたい。この時のnを求めなさい。

解き方

はじめてこのような問題を見るとどうやって解き始めればよいか迷ってしまいますよね。この問題では、「積がある自然数の2乗」にしたいというところに注目しましょう。自然数の2乗、ということは〇2となるようなかけ算を考えればよいということです。なので、104×n=〇2となるようなnを考えます。

そのためには、104がどのような数字のかけ算でできているかを知ることが必要です。ここで素因数分解が登場します。104を素因数分解することで、104がどのような素数のかけ算でできているかを調べてみましょう。

104は
104=2³×13と因数分解できます。

素因数分解によって、104は2が3個、13が1個のかけ算でできていることが分かりました。先ほど考えたように、104×nが〇²になるようにするためには含まれる素数の個数がそれぞれ偶数個になるようにしてあげればよいわけです。

104の場合は2が3個、13が1個です。それぞれの素数を偶数個にするためには、2が1個、13が1個足りません。そのため104に2×13=26をかけることで、〇2を作ります。よって、104を〇2にするためのnは26だとわかりました。
104×26=2704となり、これを素因数分解すると
2704=2⁴×13²=4²×13²=(4×13)²=52²
〇²になりましたね。

少し複雑に見える問題も素因数分解で細かく分けてみることで解くことができるようになります。文章題の素因数分解にもぜひチャレンジしてみてくださいね!

素因数分解は早めに身につけておくのが吉!
困ったときは栄光へご相談ください

今回素因数分解と、その問題の解き方を紹介しました。一人ではなかなか勉強が進まない、わからないところが解決できない、などお困りのことがありましたらぜひ栄光にご相談ください。

栄光の高校受験対策では各都道府県によって異なる公立高校入試制度や出題傾向、最新の受験情報をもとに、進路指導を行ったうえで目標達成に必要な学習プランを作成し、苦手対策、定期テスト対策、志望校対策も、講師が生徒1人ひとりに寄り添って指導します。少人数で発言や質問がしやすく、仲間と切磋琢磨しながら成長できるグループ指導と、先生と隣り合わせでわからないところや苦手を中心に、自分のペースで学習を進められる個別指導があります。自分に合った指導形態で合格に向かって効率よく学習を進めることができます。また、家庭学習指導にも力を入れており、志望校合格に必要な学習内容を提案。さらに模試の結果を細かく分析したうえで苦手分野を徹底的に対策することで成績向上につなげます。

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